Cher Eliantin,
A l'origine, cette expression s'orthographiait comme ceci : "remède de bonne fame." La "fame" voulant dire en ancien français la célébrité, la popularité. En témoignent les qualificatifs "fameux," ou "mal famé" conservés en français contemporain, qui relèvent du même champ sémantique et ont la même étymologie. L'anglais a tout bonnement conservé le mot "fame" avec le même sens.
Pour en revenir à ton expression, elle désigne en fait un remède bien connu, très populaire ; et non comme on le croit souvent un "remède de grand-mère," qui en est une dérivation.^^ 
Vian²