C'est cochise_fr qui a raison : le CNE est un contrat à durée indéterminée, avec une période d'essai de deux ans.
Dès lors, nul besoin de signer un CDI, puisque, passé la période d'essai, le CNE est régit par les mêmes dispositions que le CDI. Néanmoins, pour la forme, une proposition de loi a été formulée, pour requalifier le CNE en CDI (ce qui ne change absolument rien pour ceux qui ont passés la période d'essai), ou en CDD de 24 mois pour ceux qui sont encore dans la période d'essai (ce qui ne change rien non plus, car sans préavis de fin de mission, un CDD de plus de 24 mois est prorogé en CDI suivant les mêmes termes et conditions).
A noter que ce contrat ne peut plus être proposé puisque que comme Ktilou l'a dit, la Commission Européenne a dénoncé ce contrat (passé en force par le 49-3 après l'échec du CPE, dont le principe était sensiblement le même).
Pour revenir à la question originelle, tu n'as guère de solution, à moins de rencontrer ton employeur et lui proposer ta démission. Si tu es simple employée, c'est 1 mois de préavis, si tu es ETAM, 2 mois, et si tu es cadre, 3 mois.
Néanmoins, tu as le droit à deux heures de congés par jour presté pour effectuer ta recherche d'emploi lors d'un licenciement (à vérifier , je suis pas sur si c'est le cas pour la démission). La modalité de ce temps libre est la suivante : tu choisis tes horaires de recherche de travail un jour sur deux, et l'autre jour sur deux c'est ton employeur. Toutefois, il est possible avec certains employeurs, de cumuler ces heures de recherche en fin de préavis.
Il est important de souligner que ces heures de travail sont payées et non déduites de tes congés.
Le roi est mort, vive le roi !