SI l’on peut dire que les deux verbes sont synonymes, la magie de la langue française apporte quand même des nuances.
Persuader quelqu’un de faire quelque chose ou de croire quelque chose, c’est utiliser des arguments faisant appel à la sensibilité, à l’émotion et à la séduction. Par exemple, on peut très bien persuader une femme d’adopter telle ligne de vêtements ou telle coupe de cheveux en lui disant que c’est la mode et qu’elle serait bien plus à son avantage en respectant quelques conseils… La persuasion peut donc être influencée par des motifs non fondés ou des valeurs morales comme la fidélité, le courage, l’honneur, etc., et le sujet persuadé pourra, une fois les choses faites, très facilement changer d’avis.
Par contre, convaincre quelqu’un, c’est faire appel à des arguments rationnels, expliqués par A+B… Il y a donc presque une démarche scientifique avec postulat, démonstration, conclusion avec des preuves, cela va sans dire (lecture, théorème, chiffres, statistiques, etc.). Socrate, par exemple, en cours de démonstration, demandait sans cesse l’avis de la personne qu’il voulait convaincre… Il s’agit donc plus de concepts raisonnés et de faire appel à la capacité d’analyse de l’interlocuteur.

Bonsoir Gouache,
je mettrai ce que j'ai de plus précieux au monde au feu pour dire que :
persuader fait appel à la raison, à l'entendement, à l'intellect, aux arguments
alors que le convaincre il s'agit d'exposer ses émotions, ses sentiments, ses ressentis, ses convictions (oui).
Si persuader fait appel encore une fois au 'cerveau', le convaincre fait appel au coeur, pour schématiser.