Théorème de Pythagore : formule géométrique très connue


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Le théorème de Pythagore consiste en une formule géométrique qui a été découverte il y a bien longtemps de cela. Celle-ci aurait été découverte par l'érudit Pythagore de Samos, un brillant mathématicien ayant vécu à l'époque de la Grèce antique. Pour information, Pythagore de Samos n'est pas seulement un mathématicien de talent, il possède également les qualifications d'astronome et de philosophe. Pour ses congénères, il appartient à la race des génies. Aujourd'hui, certains théoriciens tendent à croire que Pythagore n'est pas le père du célèbre « théorème de Pythagore ». La démonstration aurait été faite depuis l'antiquité. En témoigne la technique de mesure faisant appel à la corde à treize noeuds et se basant sur les triplets pythagoriciens. Grâce à cette corde, beaucoup de personnes de l'époque auraient facilement pu qualifier de « magique », les architectes pouvaient non seulement mesurer des longues distances avec précision mais aussi et surtout créer un angle droit sans recourir à une équerre. Concrètement, la corde à treize noeuds permettait de construire un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3, 4 et 5, ce qui correspond à un triangle rectangle si l'on se réfère au théorème de Pythagore.


Pendant toute l'époque médiévale, cette corde constituera l'outil principal du géomètre. Pour étayer leur point de vue, les théoriciens qui réfutent le fait que Pythagore soit l'initiateur du théorème de Pythagore font également état des preuves de l'utilisation des triplets pythagoriciens datant du XXVe siècle avant notre ère qui ont été retrouvées en Grande-Bretagne. Ceci voudrait donc dire que les géomètres utilisaient déjà les triplets pythagoriciens, bien longtemps avant que Pythagore ne voie le jour.


Quoi qu'il en soit, la démonstration porte aujourd'hui l'appellation de « Théorème de Pythagore » et beaucoup sont ceux qui ne se posent aucune question sur son origine et se contentent de l'appliquer. Si l'on s'intéresse à la formulation du fameux théorème, l'on peut dire que celle-ci est universelle : « Lorsqu'un triangle est rectangle, le carré de son hypoténuse équivaut à la somme des carrés de ses deux autres côtés ». L'on soulignera au passage que l'hypoténuse est le côté se trouvant à l'opposé de l'angle droit. À titre d'illustration, si un triangle ABC est rectangle en A, le carré de BC est égal à la somme du carré de AB et de AC. La formule s'écrirait : BC² = AB² + AC². L'utilité du théorème de Pythagore est élémentaire et compliqué à la fois. Tout dépend du domaine d'application concerné. Dans tous les cas, il permet de trouver exactement la longueur de l'un des côtés d'un triangle comportant un angle droit à condition de connaître les longueurs des deux autres côtés. Il est utile de mettre l'accent sur le fait que la réciproque du théorème de Pythagore est vérifiable et vraie.
theoreme pythagore


Ainsi, dans le cas où un triangle présente deux côtés dont la somme des carrés équivaut au carré de celui qui affiche la plus grande longueur, l'on peut dire de ce triangle qu'il est rectangle. L'on ne manquera pas d'observer que le théorème de Pythagore s'applique exclusivement aux triangles rectangles. Au fil des siècles et des années, de nombreux mathématiciens ont voulu prouver la véracité du théorème de Pythagore. Il existe aujourd'hui une démonstration dite moderne qui permet d'aboutir facilement au fameux théorème. Pour mener à bien cette démonstration, la première étape consiste à prendre en compte un triangle rectangle dont les trois côtés possèdent chacun une longueur notée a, b et c. Sur une feuille de papier, l'on va dessiner ce triangle rectangle en faisant en sorte que sa base, qui sera le côté a, soit parfaitement horizontale. L'on recopiera exactement le même triangle rectangle trois fois de suite en faisant chaque fois en sorte que le côté a de chaque triangle soit aligné avec le côté b du triangle suivant. Au final, on obtient un carré dont la valeur du côté est égale à (a + b). À l'intérieur de ce carré se trouve un autre carré ayant pour côté c. C'est en déterminant l'aire de ce second carré que l'on aboutit au théorème de Pythagore. Concrètement, la surface du carré en question équivaut à la différence entre la surface du carré de côté (a + b) qui est égale à (a + b)² et la somme des surfaces des quatre triangles rectangles qui est également 4 x (ab2). La surface du carré de côté c qui est de c² est donc égale à : (a + b)2 - 4(ab 2) ou [a² + 2ab + b²] - 2ab. Si on développe, cela donne : a² + 2ab + b² - 2ab. En simplifiant, il ne reste plus que a² + b². Au final, on retrouve la formule : c² = a² + b².

Le Mercredi 20 Janvier 2010 à 11:18
Article écrit par Toli ()


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