C'est donc en 1993 que l'histoire des célèbres Supergrass commence réellement, et de façon assez fulgurante. En effet, un an encore plus tard, en 1994, le quatuor anglais sortait son premier album nommé I Should Coco, grâce à une bonne réputation et notamment avec l'aide du légendaire animateur de radio John Peel qui diffusait leur unique single Caught by the Fuzz sur les ondes britanniques. Et le succès fut immédiat, principalement en raison d'une chanson de cet album qui reste à ce jour un tube très connu, Alright. Leur style musical britpop très léger et fortement inspiré de la pop des années 60 des
Beatles ou des
Beach Boys tombait à pic, à une époque où d'autres groupes du même genre émergeaient, Blur en tête, mais dans des registres beaucoup plus sérieux, voire cyniques, que Supergrass. Tous les singles tirés de I Should Coco réussirent à se hisser parmi les meilleures ventes du moment, ce qui est un exploit rare, surtout pour un premier album, et au milieu des années 90 tout le monde avait au moins entendu une chanson de Supergrass.