Les critères de divisibilité : définition


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Les critères de divisibilité aident à savoir si un nombre donné est divisible par un autre sans avoir besoin de faire le moindre calcul. Voici quelques critères de divisibilité parmi les plus connus. La division par 2 est incontestablement la plus facile car tout nombre pair est divisible par 2, donc tous ceux qui se terminent par 0, 2, 4, 6 et 8. Ainsi, 14 452 ou encore 3 796 sont divisibles par 2, contrairement à 27 285 et 1 843 qui ne le sont pas. Un nombre peut être divisé par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. Prenons comme exemple 3 051 : si on additionne 3 0 5 1, on a en tout 9, ensuite on calcule 9/3 = 3 donc 3 051 est divisible par 3, tandis que le nombre 26, lui, ne l'est pas car 2 6 = 8. La divisibilité par 9 se vérifie par une méthode similaire à celle par 3. De ce fait, un nombre est divisible par 9 si le nombre obtenu après addition des chiffres qui le composent est divisible par 9. Par exemple, 297 (2 9 7 = 18 et 1 8 = 9 9/9 = 1) et 7 956 (7 9 5 6 = 27 2 7 9:9 = 1) sont des nombres divisibles par 9 tandis que les nombres 62 (6 2 = 8) et 235 (2 3 5 = 10) ne le sont pas.


Le critère de divisibilité par 5 s'applique aux nombres dont la terminaison est soit 0 soit 5. De ce fait, les nombres 40 et 285 sont par exemple divisibles par 5 tandis que les nombres 51 et 4 214 ne le sont pas. Un nombre donné est divisible par 7 si le nombre des dizaines auquel on soustrait le double du chiffre des unités est divisible par 7. Cela paraît un peu compliqué, toutefois, quelques exemples rendront cette explication plus facile. Voyons donc le nombre 105, il est divisible par 7 car 10 - (2x5) = 10-10 = 0 et 07 = 0.


De même, le nombre 111 258 est divisible par 7 car 11 125 - (2x8) = 11 109 1 110 - (9X2) = 1 092 109 - (2X2) = 105 10 - (5X2)= 0 et 07= 0. Ce qui n'est pas le cas pour les nombres 51 et 246, ils ne sont pas divisibles par 7 car 5 - (2x1) = 3 et 24 - (2x6) = 12. Concernant les très grands nombres, il existe une autre méthode pour connaître la divisibilité par 7. Il faut d'abord découper le nombre par tranche de six chiffres. Ainsi, avec 109 826 304 par exemple, on aura les deux nombres 109 et 826 304. Ensuite, il faut additionner les deux nombres obtenus, d'où 109 + 826 304 = 826 413. C'est après seulement qu'il faut procéder comme on l'a fait précédemment, soit : 82 641 - (2x3) = 82 635 8 263 - (2x5) = 8 253 825 - (2x3) = 819 81 - (2x9) = 63 et 63:7 = 9. Au bout du compte, il est donc possible d'affirmer que 109 826 304 est divisible par 7. Pour ce qui est de la divisibilité par 10, elle concerne les nombres dont la terminaison est 0. Les nombres 30 et 420 peuvent donc être divisés par 10, ce qui n'est le cas des nombres 48 ou 956.
criteres divisibilite


De ce fait, pour chaque nombre donné, il suffit de connaître les critères de divisibilité par c½ur pour ne pas perdre du temps à faire la division et s'apercevoir seulement par la suite que le résultat a donné des chiffres après la virgule. Certains diront peut-être que c'est un peu comme les recettes de cuisine et nombreux sont ceux qui ne se contentent pas de ces simples données, souhaitant obtenir des explications plus approfondies et savoir si des démonstrations mathématiques existent. Il est à signaler qu'il existe des sites internet qui donnent une liste complète des critères de divisibilité néanmoins, pour plus de précisions, il faut se reporter particulièrement à l'arithmétique modulaire, l'une des branches des mathématiques. Afin de ne pas se perdre en cours de route et de bien comprendre les explications avancées, il est toutefois nécessaire d'avoir des notions de base en mathématiques. Ainsi, il est possible de trouver un critère de divisibilité pour tous les nombres qui existent. Pour ce faire, afin de savoir si un nombre A donné est divisible par d, il est nécessaire de procéder à des manipulations algorithmiques et d'observer les congruences. Il faut donc faire la division euclidienne du nombre A par le nombre d. Le reste obtenu sera par la suite testé pour voir s'il s'annule. Pour y parvenir, il faut effectuer une suite d'opérations dont le nombre équivaut au nombre de chiffres dans A, c'est ce qui s'appelle la complexité linéaire.

Le Vendredi 19 Juin 2009 à 11:50
Article écrit par Toli ()


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