Un différentiel logarithmique c'est quoi ?


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Un différentiel logarithmique c'est quoi ?



Différentielle signifie dérivée dans le langage mathématique. La dérivée d'une fonction donnée en un point a c'est la partie linéaire de l'accroissement de cette même fonction entre le point a et le point a+h quand h tend vers 0. Une fonction qui possède une dérivée est une fonction dérivable. Et parmi ces fonctions, la fonction logarithme en est une. Il arrive que certaines fonctions à plusieurs variables soient difficile à dériver à cause notamment de sa présentation sous forme de quotient ou de produit entre les variables. Dans ce cas, l'on fait appel à la différentielle logarithmique. Une différentielle logarithmique est une erreur relative ou une incertitude d'une fonction connue à plusieurs variables. Cette erreur appelée erreur absolue de la fonction c'est l'ensemble des erreurs absolues sur les grandeurs indépendantes comprises dans la fonction mais elle est assez petite et peut être confondue à la différentielle. La différentielle logarithmique d'une fonction donnée est la différentielle du logarithme néperien de cette fonction. Elle s'écrit d(lny y)= dy/y. Le logarithme népérien est de base e qui équivaut à 2,71828 à peu près et dont les propriétés permettent d'éclater ou de simplifier une fonction difficile. Il est ainsi plus aisé de passer par cette différentielle logarithmique. Déjà, ln(u/v)=ln(u)-ln(v), ln(uv)=ln(u)+ln(v), ln(e à la puissance x)=x, e exposant lnx=x, ln(u à la puissance x)=xlnu et ln1=0 car ln a pour domaine de définition ]0;+ф]. De façon plus simple, si f(x,y,z,)=x*y/z alors en fonction logarithme l'on trouve lnf=ln(x)+ln(y)-ln(z). En dérivant la fonction logarithme, l'on obtient: df/f=dx/x+dy/y-dz/z. En prenant un exemple, si f(x,y,z)=(x2+y)/z2, alors l'on est conduit à utiliser la différentielle logarithmique. ln(f)=ln(x2+y)-2lnz, c'est la fonction logarithmique de f(x,y,z). Puis en dérivant, dln(f)=[d(x2+y)/x2+y]-2[dz/z]. En continuant, l'équation devient 2[xdx/x2+y]+[dy/x2+y]-[3dz/z] avec les propriétés de la dérivée d(ax+by)=adx+ bdy et d(u/v)=[(du*v-u*dv)/v2] entre autres.


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depeche Il y a 3146 jours 5 heures 24 minutes

Le Mercredi 05 Janvier 2011
Postée par Chris ()
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